Đề bài: Cho $x,y$ là các số thực,chứng minh rằng :$A=\sqrt{x^{2}+4y^{2}+6x+9}+\sqrt{x^{2}+4y^{2}-2x+10}\geq 5$

Lời giải

Đề bài:
Cho $x,y$ là các số thực,chứng minh rằng :$A=\sqrt{x^{2}+4y^{2}+6x+9}+\sqrt{x^{2}+4y^{2}-2x+10}\geq 5$
Lời giải

Ta có: $A=\sqrt{(x+3)^{2}+(2y)^{2}}+\sqrt{(1-x)^{2}+(3-2y)^{2}}$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc cho các vectơ:
$\overrightarrow {u}=(x+3;2y)\Rightarrow |\overrightarrow {u}|=\sqrt{(x+3)^{2}+(2y)^{2}}$
$\overrightarrow {v}=(1-x;3-2y)\Rightarrow |\overrightarrow {v}|=\sqrt{(1-x)^{2}+(3-2y)^{2}}$
Ta có: $\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}=(4;3) \Rightarrow |\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}|=\sqrt{16+9}=5$
Do $|\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}|\leq |\overrightarrow {u}|+|\overrightarrow {v}|$ ta có: $A\geq 5$
hay $A=\sqrt{x^{2}+4y^{2}+6x+9}+\sqrt{x^{2}+4y^{2}-2x+10}\geq 5$.đpcm.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác