• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài: 1)    Chứng minh $x^2+2xy+3y^2+2x+6y+3\geq 0$ đúng với $\forall x,y$2)    Tìm $m$ để $9x^2+20y^2+4z^2-12xy+6xz+myz\geq 0$ đúng với $\forall x,y,z$3)    Giả sử $a > b > c$, chứng minh: $(x + a + b + c)^2 > 8(bx  +  ac)$ đúng với $\forall x$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

adsense
Đề bài: 1)    Chứng minh $x^2+2xy+3y^2+2x+6y+3\geq 0$ đúng với $\forall x,y$2)    Tìm $m$ để $9x^2+20y^2+4z^2-12xy+6xz+myz\geq 0$ đúng với $\forall x,y,z$3)    Giả sử $a > b > c$, chứng minh: $(x + a + b + c)^2 > 8(bx  +  ac)$ đúng với $\forall x$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
1)    Chứng minh $x^2+2xy+3y^2+2x+6y+3\geq 0$ đúng với $\forall x,y$2)    Tìm $m$ để $9x^2+20y^2+4z^2-12xy+6xz+myz\geq 0$ đúng với $\forall x,y,z$3)    Giả sử $a > b > c$, chứng minh: $(x + a + b + c)^2 > 8(bx  +  ac)$ đúng với $\forall x$
Lời giải

adsense

Nhắc lại : Tam thức bậc hai $ f(t)=At^2+Bt+C $ với hệ số $A >0$ thì biệt thức $\Delta \le 0\Leftrightarrow f(t) \ge 0  \forall t$.
1)    BĐT $ \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x(y  +  1) + 3(y  +  1}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}} \ge 0$                (1)
Coi VT (1) là bậc hai đối với x, ta xét:
${\Delta ^’} = {\left( {y + 1} \right)^2} – 3{\left( {y + 1} \right)^2} =  – 2{\left( {y + 1} \right)^2} \le 0$ với $\forall y$
$ \Rightarrow (1)$ đúng với $\forall x,y$ (đpcm)
2)    BĐT $ \Leftrightarrow 9{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 6{\rm{x}}\left( {{\rm{z  –  2y}}} \right) + 20{y^2} + 4{{\rm{z}}^{\rm{2}}} + myz \ge 0$
$ \Leftrightarrow {\Delta ^’} = 9{\left( {z – 2y} \right)^2} – 9\left( {20{y^2} + 4{{\rm{z}}^{\rm{2}}} + myz} \right) \le 0$ với $\forall y,z,m$
$ \Leftrightarrow  – 144{y^2} – 9yz(m + 4) – 27{{\rm{z}}^{\rm{2}}} \le 0$  với $\forall y,z,m$
$ \Leftrightarrow   144{y^2} + 9yz(m + 4) + 27{{\rm{z}}^{\rm{2}}} \ge 0$  với $\forall y,z,m$
$ \Leftrightarrow \delta  = 81{{\rm{z}}^{\rm{2}}}.{\left( {m + 4} \right)^2} – 4.144.27{{\rm{z}}^{\rm{2}}} \le 0$  với $\forall m,z$
    $ \Leftrightarrow 81{{\rm{z}}^{\rm{2}}}\left[ {{{\left( {m + 4} \right)}^2} – 192} \right] \le 0$ với $\forall m,z$
    $ \Leftrightarrow {\left( {m + 4} \right)^2} – 192 \le 0 \Leftrightarrow \left| {m + 4} \right| \le 8\sqrt 3 $
    $ \Leftrightarrow  – 4 – 8\sqrt 3  \le m \le  – 4 + 8\sqrt 3 $
3)    Ta phải chứng minh
${x^2} + 2{\rm{x(a  +  c  –  3b)  +  ( a  +  b  +  c }}{{\rm{)}}^{\rm{2}}} – 8{\rm{ac  >  0 , }}\forall {\rm{x}}$      (2)
Vì ${\Delta ^’} = {\left( {a + c – 3b} \right)^2} – {(a + b + c)^2} + 8{\rm{ac}}$
    $ = 8({b^2} – ab – bc + ac)=8(a-b)(c-b).$
Do  $a > b > c$ nên $ \Delta ^’ Vậy (2) đúng(đpcm)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)
  2. Đề bài: Cho $x,y$ là các số thực,chứng minh rằng :$A=\sqrt{x^{2}+4y^{2}+6x+9}+\sqrt{x^{2}+4y^{2}-2x+10}\geq 5$
  3. Đề bài: ho tứ diện $SABC$ có các góc phẳng ở đỉnh $S$  vuông. Chứng minh rằng  : $\sqrt{3}S_{ABC} \geq S_{SBC}+S_{SAB}+S_{SAC}$
  4. Đề bài: Chứng minh với mọi số nguyên dương n:a) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq 2\sqrt{n}-1\)b) \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \ldots \times\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{2n}}\)
  5. Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=1$, chứng minh rằng:   $\frac{c}{a^2+b^2}+\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
  6. Đề bài: Cho $n,m \in Z,n,m \geq 2;0
  7. Đề bài: Chứng tỏ rằng nếu ba số $a,b,c$ thoả mãn điều kiện                         $\begin{cases}a+b+c>0 \\ ab+bc+ca>0 \\abc>0\end{cases} $ thì $a,b,c$ là ba số dương.
  8. Đề bài: Giả sử $a\cos2x + b\cos x + 1 \ge 0$ đúng với $\forall x$. Chứng minh $|a|+|b| \le 2$
  9. Đề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\begin{cases}x+y+z=5 \\ xy+yz+zx=8 \end{cases}$ Chứng minh rằng : $1 \leq x,y,z \leq \frac{7}{3}$
  10. Đề bài: Chứng minh rằng:$1+\frac{1}{2}C^{1}_{n}+\frac{1}{3}C^{2}_{n}+…+\frac{1}{n+1}C^{n}_{n}
  11. Đề bài: chứng minh với mọi số nguyên dương n:a) \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2}\)b)\(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{1\times 3\times 5}+…+\frac{1}{1\times 3\times 5…\left ( 2n+1 \right )}
  12. Đề bài: Với $a,b,c>0$ chứng minh rằng:   $\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$
  13. Đề bài: Cho $ x,y,z\geq 0$ chứng minh $\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \left ( x+y+z \right )\sqrt{3} $
  14. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:                   $(1+\frac{1}{n})^n
  15. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số $a,b,c\in [0,1]$ ta luôn có:  $(1+a+b+c)^{2}\geq 4(a^2+b^2+c^2)$.

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.