Đề bài: 1)    Chứng minh $x^2+2xy+3y^2+2x+6y+3\geq 0$ đúng với $\forall x,y$2)    Tìm $m$ để $9x^2+20y^2+4z^2-12xy+6xz+myz\geq 0$ đúng với $\forall x,y,z$3)    Giả sử $a > b > c$, chứng minh: $(x + a + b + c)^2 > 8(bx  +  ac)$ đúng với $\forall x$

Lời giải

Đề bài:
1)    Chứng minh $x^2+2xy+3y^2+2x+6y+3\geq 0$ đúng với $\forall x,y$2)    Tìm $m$ để $9x^2+20y^2+4z^2-12xy+6xz+myz\geq 0$ đúng với $\forall x,y,z$3)    Giả sử $a > b > c$, chứng minh: $(x + a + b + c)^2 > 8(bx  +  ac)$ đúng với $\forall x$
Lời giải

Nhắc lại : Tam thức bậc hai $ f(t)=At^2+Bt+C $ với hệ số $A >0$ thì biệt thức $\Delta \le 0\Leftrightarrow f(t) \ge 0  \forall t$.
1)    BĐT $ \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x(y  +  1) + 3(y  +  1}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}} \ge 0$                (1)
Coi VT (1) là bậc hai đối với x, ta xét:
${\Delta ^’} = {\left( {y + 1} \right)^2} – 3{\left( {y + 1} \right)^2} =  – 2{\left( {y + 1} \right)^2} \le 0$ với $\forall y$
$ \Rightarrow (1)$ đúng với $\forall x,y$ (đpcm)
2)    BĐT $ \Leftrightarrow 9{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 6{\rm{x}}\left( {{\rm{z  –  2y}}} \right) + 20{y^2} + 4{{\rm{z}}^{\rm{2}}} + myz \ge 0$
$ \Leftrightarrow {\Delta ^’} = 9{\left( {z – 2y} \right)^2} – 9\left( {20{y^2} + 4{{\rm{z}}^{\rm{2}}} + myz} \right) \le 0$ với $\forall y,z,m$
$ \Leftrightarrow  – 144{y^2} – 9yz(m + 4) – 27{{\rm{z}}^{\rm{2}}} \le 0$  với $\forall y,z,m$
$ \Leftrightarrow   144{y^2} + 9yz(m + 4) + 27{{\rm{z}}^{\rm{2}}} \ge 0$  với $\forall y,z,m$
$ \Leftrightarrow \delta  = 81{{\rm{z}}^{\rm{2}}}.{\left( {m + 4} \right)^2} – 4.144.27{{\rm{z}}^{\rm{2}}} \le 0$  với $\forall m,z$
    $ \Leftrightarrow 81{{\rm{z}}^{\rm{2}}}\left[ {{{\left( {m + 4} \right)}^2} – 192} \right] \le 0$ với $\forall m,z$
    $ \Leftrightarrow {\left( {m + 4} \right)^2} – 192 \le 0 \Leftrightarrow \left| {m + 4} \right| \le 8\sqrt 3 $
    $ \Leftrightarrow  – 4 – 8\sqrt 3  \le m \le  – 4 + 8\sqrt 3 $
3)    Ta phải chứng minh
${x^2} + 2{\rm{x(a  +  c  –  3b)  +  ( a  +  b  +  c }}{{\rm{)}}^{\rm{2}}} – 8{\rm{ac  >  0 , }}\forall {\rm{x}}$      (2)
Vì ${\Delta ^’} = {\left( {a + c – 3b} \right)^2} – {(a + b + c)^2} + 8{\rm{ac}}$
    $ = 8({b^2} – ab – bc + ac)=8(a-b)(c-b).$
Do  $a > b > c$ nên $ \Delta ^’ Vậy (2) đúng(đpcm)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác