Đề bài: Cho $n \in Z,n\geq 2;a_{1},a_{2},…,a_{n} \geq 0$.Chứng minh rằng:$\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n} }{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}…a_{n} }$

Lời giải

Đề bài:
Cho $n \in Z,n\geq 2;a_{1},a_{2},…,a_{n} \geq 0$.Chứng minh rằng:$\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n} }{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}…a_{n} }$
Lời giải

* Nếu $ a_1a_2…a_n = 0 $ :  BĐT luôn đúng.
*Nếu: $a_{1}a_{2}…a_{n}>0$
Xét $f(x)=\ln x,x \in (0,+ \infty );$
$f'(x)=\frac{1}{x};$
$f”(x)=-\frac{1}{x^{2}}$\Rightarrow f$ là hàm số lồi
Theo BĐT Jensen ta có:
$\frac{f(a_{1})+f(a_{2})+…+f(a_{n})}{n}\leq f(\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n} }{n})$
$\Leftrightarrow\ln (a_{1}a_{2}…a_{n})^{\frac{1}{n}} \leq \ln(\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n} }{n})$
$\Leftrightarrow \sqrt[n]{a_{1}a_{2}…a_{n} } \leq \frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n} }{n}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=…=a_{n}$.
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác