Đề bài: Cho ba số $a,b,c$ thoả mãn: $\begin{cases}a+b+c=2 \\ a^2+b^2+c^2=2 \end{cases}$.Chứng minh rằng $0\leq a,b,c\leq \frac{4}{3}$.

Lời giải

Đề bài:
Cho ba số $a,b,c$ thoả mãn: $\begin{cases}a+b+c=2 \\ a^2+b^2+c^2=2 \end{cases}$.Chứng minh rằng $0\leq a,b,c\leq \frac{4}{3}$.
Lời giải

Ta chỉ cần đi chứng minh $0\leq a\leq\frac{4}{3} $.
Thật vậy, ta có: $2(b^2+c^2)\geq (b+c)^2\Leftrightarrow 2(2-a^2)\geq(2-a)^2\Leftrightarrow 3a^2-4a\leq 0 \Leftrightarrow a(3a-4)\leq 0$
$\Leftrightarrow 0\leq a \leq \frac{4}{3},$ đpcm.
Tương tự cũng suy ra: $0\leq b,c\leq \frac{4}{3}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác