Lời giải
Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi $a,b $ luôn có: $a^2-ab+b^2\geq 0$
Lời giải
*Cách 1
Coi vế trái của bất đẳng thức trên là một tam thức bậc hai với ẩn $a$ và tham số $b$, ta có:
$\triangle _{a}=b^2-4b^2=-3b^2\leq 0, \forall b\Rightarrow a^2-ab+b^2\geq 0, \forall b.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{cases}\triangle _{a}=0 \\ a=\frac{b}{2} \end{cases}\Leftrightarrow a=b=0$.
*Cách 2:
Ta có biến đổi bất đẳng thức về dạng:
$(a^2-ab)+b^2\geq 0\Leftrightarrow (a^2-ab+\frac{b^2}{4})+\frac{3b^2}{4}\geq 0\Leftrightarrow (a-\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}\geq 0 $ (luôn đúng).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\begin{cases}a-\frac{b}{2}= 0 \\ \frac{3b^2}{4}= 0 \end{cases} \Leftrightarrow a=b=0$
=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Trả lời