Đề bài: Cho các số thực $a,b,c,d$ thoả mãn $a^2+b^2=1, c^2+d^2=1$. Chứng minh rằng:       $|a(c-d)+b(c+d)|\leq \sqrt{2}$.

Lời giải

Đề bài:
Cho các số thực $a,b,c,d$ thoả mãn $a^2+b^2=1, c^2+d^2=1$. Chứng minh rằng:       $|a(c-d)+b(c+d)|\leq \sqrt{2}$.
Lời giải

Từ giả thiết:
    $a^2+b^2=1$, đặt $a=\sin\alpha$  và  $b=\cos\alpha, \alpha\in[0,2\pi).$
    $c^2+d^2=1$, đặt $c=\sin\beta$  và  $d=\cos\beta, \beta\in[0,2\pi).$
Khi đó:
    $|a(c-d)+b(c+d)|=|(\sin\beta-\cos\beta)\sin\alpha+(\sin\beta+\cos\beta)\cos\alpha|$
                                             $
\displaystyle =\sqrt{2}|-\sin\alpha\cos(\beta+\frac{\pi}{4})+\cos\alpha \sin(\beta+\frac{\pi}{4})|
$
                                             $=\sqrt{2}|\sin(-\alpha+\beta+\frac{\pi}{4})\leq \sqrt{2}$ , đpcm.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác