Lời giải
Đề bài:
Chứng minh rằng:$\sqrt{a}\leq \underbrace { \sqrt{a+\sqrt{a+…+\sqrt{a}}}}_{n}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$,với $\forall a \geq 0,n \in Z, n\geq 2$
Lời giải
Ta chỉ cần xét: $a>0$.(Vì $a=0$: BĐT luôn đúng).$n \in Z, n\geq 2$
Đặt: $x_{n}=\underbrace { \sqrt{a+\sqrt{a+…+\sqrt{a}}}}_{n} \geq \sqrt{a}(n \in Z, n\geq 2)$
$\Rightarrow x^{2}_{n}=a+x_{n-1}$
Mà: $\underbrace { \sqrt{a+\sqrt{a+…+\sqrt{a}}}}_{n }>\underbrace { \sqrt{a+\sqrt{a+…+\sqrt{a}}}}_{(n-1) }$ (vì$ (a>0)$)
$\Rightarrow x_{n}>x_{n-1}$
$\Rightarrow x^{2}_{n}=a+x_{n-1}$\Rightarrow f(x_{n})=x^{2}_{n}-x_{n}-a$\Rightarrow \frac{1-\sqrt{4a+1}}{2}
=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Trả lời