Đề bài: Cho $a,b,c $ dương và có $abc=1$. Chứng minh:$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c $ dương và có $abc=1$. Chứng minh:$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$
Lời giải

Ta có: $a^{5}+b^{5}=\left ( a+b \right )\left ( a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4} \right )$
$=\left ( a+b \right )[ a^{2}b^{2}+a^{3}\left ( a-b \right )-b^{3}\left ( a-b \right ) ]$
$=\left ( a+b \right )[ a^{2}b^{2}+\left ( a-b \right )\left ( a^{3}-b^{3} \right )] $
$=\left ( a+b \right )[ a^{2}b^{2}+\left ( a-b \right )^{2}\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )]\geq \left ( a+b \right )a^{2}b^{2} $
Nên: $\displaystyle \frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}\leq\frac{ab}{a^{2}b^{2}\left ( a+b \right )+ab}=\frac{1}{ab\left ( a+b \right )+1}=\frac{1}{ab(a+b)+abc}$
 
                                                                                     $ =\frac{1}{ab\left ( a+b+c \right )}=\frac{c}{a+b+c} $.
Tương tự: $\displaystyle \frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}\leq \frac{a}{a+b+c}$; $\displaystyle \frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq\frac{b}{a+b+c} $
Cộng 3 bất đẳng thức có điều phải chứng minh.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác