Lời giải
Đề bài:
Cho $ x,y,z\geq 0$ chứng minh $\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \left ( x+y+z \right )\sqrt{3} $
Lời giải
Với $x,y,z\geq 0$ ta có:
$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}=\sqrt{3\left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{x-y}{2} \right )^{2}}\geq \sqrt{3\left ( \frac{x+y}{2}\right )^{2}}=\frac{x+y}{2}\sqrt{3}$.
Tương tự $\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}\geq\frac{y+z}{2}\sqrt{3} $ ;$\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq\frac{z+x}{2}\sqrt{3} $
Cộng 3 bất đẳng thức thì có:
VT$\geq \left ( \frac{x+y}{2}+ \frac{y+z}{2}+ \frac{z+x}{2} \right )\sqrt{3}=\left ( x+y+z \right )\sqrt{3}$
=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Trả lời