Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có: $(1+\frac{1}{n})^n
Lời giải
Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có: $(1+\frac{1}{n})^n
Lời giải
Bất đẳng thức $(1)$ đúng với $n=1, n=2$ bởi vì:
$(1+\frac{1}{1})^1=2Vậy ta xét $n\geq 3$, và chứng minh rằng : với mọi số nguyên dương $k $ thoả mãn điều kiện $1\leq k\leq n$, ta có:
$(1+\frac{1}{n})^kKhi đó, với $ k=n $, thì $(2)$ trở thành $(1)$.
Đẻ chứng minh $(2)$, ta sử dụng phép quy nạp “hạn chế”, tức là cố định $n(n\geq 3)$, và xét các số nguyên dương $k$, với $ 1\leq k\leq n$
Với $k=1$ thì $(2)$ trở thành :
$1+\frac{1}{n}Giả sử $(2)$ đúng với $k (1\leq k\leq n-1)$, ta chứng minh $(2)$ đúng với $k+1$.
Ta có:
$(1+\frac{1}{n})^{k+1}=(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})^kNhư vậy để chứng tỏ $(2)$ đúng với $k+1$, ta chỉ cần chứng tỏ :
$\frac{k^2+k}{n^2}+\frac{k^2}{n^3}Bất đẳng thức này đúng vì $k\leq n-1.$
Với $k=1$ thì $(2)$ trở thành :
$1+\frac{1}{n}Giả sử $(2)$ đúng với $k (1\leq k\leq n-1)$, ta chứng minh $(2)$ đúng với $k+1$.
Ta có:
$(1+\frac{1}{n})^{k+1}=(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})^kNhư vậy để chứng tỏ $(2)$ đúng với $k+1$, ta chỉ cần chứng tỏ :
$\frac{k^2+k}{n^2}+\frac{k^2}{n^3}Bất đẳng thức này đúng vì $k\leq n-1.$
=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Trả lời