Lời giải
Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n, p$ ta có: $\frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+…+\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}
Lời giải
Trước tiên ta đi chứng minh:
$
\displaystyle \frac{1}{(k+1)\sqrt[p]{k}}
Thật vậy:
$
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[p]{k}}-\frac{1}{\sqrt[p]{k+1}}=\frac{\sqrt[p]{k+1}-\sqrt[p]{k}}{\sqrt[p]{k(k+1)}}$
$
\displaystyle =\frac{k+1-k}{\sqrt[p]{k(k+1})(\sqrt[p]{(k+1)^{p-1}}+\sqrt[p]{(k+1)^{p-2}k}+…+\sqrt[p]k^{p-1})}$
$
\displaystyle >\frac{1}{\sqrt[p]{k(k+1)}.p\sqrt[p]{(k+1)^{p-1}}}=\frac{1}{p(k+1)\sqrt[p]{k}}$
$
\displaystyle \Leftrightarrow p(\frac{1}{\sqrt[p]{k}}-\frac{1}{\sqrt[p]{k+1}})>\frac{1}{(k+1)\sqrt[p]{k}}$.
Bây giờ thay $k=1,2,…,n$ vào $(1)$ được :
$
\displaystyle \frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}
$
\displaystyle \frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}
…
$
\displaystyle \frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
$
\displaystyle \frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+…+\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}
=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Trả lời