Đề bài: Chứng tỏ rằng nếu ba số $a,b,c$ thoả mãn điều kiện                         $\begin{cases}a+b+c>0 \\ ab+bc+ca>0 \\abc>0\end{cases} $ thì $a,b,c$ là ba số dương.

Lời giải

Đề bài:
Chứng tỏ rằng nếu ba số $a,b,c$ thoả mãn điều kiện                         $\begin{cases}a+b+c>0 \\ ab+bc+ca>0 \\abc>0\end{cases} $ thì $a,b,c$ là ba số dương.
Lời giải

     Kí hiệu các bất đẳng thức điều kiện trong hệ là $(1),(2),(3)$.
     Giả sử trái lại, trong ba số $a,b,c$ có (ít nhất) một số không dương. Vai trò $a,b,c$ ngang nhau, ta có thể coi rằng $a\leq 0$. nhưng theo $(3)$ thì $a$ phải khác $0$, vậy $a    Theo $(2)$, ta được :
          $a(b+c)=ab+ca>-bc>0$
mà $aVới $aDo đó điều giả sử là sai, suy ra không tồn tại số không dương nào trong 3 số a,b,c.
Vậy ta có đpcm.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác