Đề bài: Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=8            (1) \\ xy+yz+zx=4           (2) \end{cases}$Chứng minh $-\frac{8}{3} \leq x;y;z \leq \frac{8}{3}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=8            (1) \\ xy+yz+zx=4           (2) \end{cases}$Chứng minh $-\frac{8}{3} \leq x;y;z \leq \frac{8}{3}$
Lời giải

Nhân $2$ vế của $(2)$ với $2$, rồi cộng theo từng vế vào $(1)$ ta có: $(x+y+z)^{2}=16$
Đặt $S=x+y+z$, ta có $S^2=16, x+y=S-z      (3)$
Từ $(2) \Rightarrow xy=4-(x+y)z=4-(S-z)z=4-Sz+z^2      (4)$
Từ $(3),(4) \Rightarrow x,y$ là nghiệm của phương trình (ẩn $t$): $t^2-(S-z)t+4-Sz+z^2=0     (5)$
Gọi $\Delta=(S-z)^2-4(4-Sz+z^2)=-3z^2+2Sz+(S^2-16)$
Hệ đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow $ Phương trình $(5)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \exists z$ thỏa mãn $\Delta \geq 0$
$\Leftrightarrow -3z^2+2Sz+(S^2-16) \geq 0 \mathop {\Leftrightarrow}\limits^{S^2-16=0} -3z^2+2Sz\geq 0     (6)$
Để ý: Từ $(6)$ suy ra $Sz \geq 0 \Rightarrow Sz=|S|.|z|=4|z|$
Bởi thế $(6) \Leftrightarrow -3|z|^2+8|z| \geq 0 \Leftrightarrow |z| \leq \frac{8}{3} $ Hay $-\frac{8}{3} \leq z \leq \frac{8}{3}$
Đổi vai trò $z$ lần lượt cjho $x,y$ thu được $-\frac{8}{3} \leq x,y,x \leq \frac{8}{3}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác