Đề bài: Cho tứ diện $ABCD, P$ là một điểm tùy ý trong tứ diện. Gọi $A_1, B_1, C_1,D_1$ là hình chiếu của $P$ lên các mặt $BCD, ACD, ABD$ và $ABC$. Gọi $S$ và $r$ tương ứng là diện tích toàn phần và bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện.  Chứng minh: $\frac{S_{BCD}}{PA_1}+\frac{S_{CDA}}{PB_1}+\frac{S_{DAB}}{PC_1}+\frac{S_{ABC}}{PD_1} \geq \frac{S}{r}$

Lời giải

Đề bài:
Cho tứ diện $ABCD, P$ là một điểm tùy ý trong tứ diện. Gọi $A_1, B_1, C_1,D_1$ là hình chiếu của $P$ lên các mặt $BCD, ACD, ABD$ và $ABC$. Gọi $S$ và $r$ tương ứng là diện tích toàn phần và bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện.  Chứng minh: $\frac{S_{BCD}}{PA_1}+\frac{S_{CDA}}{PB_1}+\frac{S_{DAB}}{PC_1}+\frac{S_{ABC}}{PD_1} \geq \frac{S}{r}$
Lời giải

Giải
Đặt $a_1=\sqrt{\frac{S_{BCD}}{PA_1}}; a_2=\frac{S_{CDA}}{PB_1}; a_3=\frac{S_{DAB}}{PC_1}; \frac{S_{ABC}}{PD_1}$
    $b_1=\sqrt{S_{BCD}.PA_1};b_2=\sqrt{S_{CDA}.PB_1}; b_3=\sqrt{S_{DAB}.PC_1}; b_4=\sqrt{S_{ABC}.PD_1}$
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có (ở đây đặt $T$ là vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh)
   $T=(S_{BCD}.PA_1+S_{CDA}.PB_1+S_{DAB}.PC_1+S_{ABC}.PD_1) \geq S^2$
Chú ý rằng $S_{BCD}.PA_1=3.V_{P.BCD}, S_{CDA}.PB_1=3.V_{P.ACD}, S_{DAB}.PC_1=3.V_{P.ABD}, $
$S_{ABC}.PD_1=3.V_{P.ABC}$, do đó từ $(1)$ có:
   $3T(V_{P.BCD}+V_{P.ACD}+V_{P.ABD}+V_{P.ABC}) \geq S^2$
hay $T \geq \frac{S^2}{3V}$, trong đó $V$ là thể tích tứ diện $ABCD$
Mặt khác ta có $V=\frac{1}{3}Sr \Rightarrow T \geq \frac{S}{r} \Rightarrow $ Điều phải chứng minh
Dấu “=” có $\Leftrightarrow \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+\frac{a_4}{b_4} \Leftrightarrow S_{NCD}=S_{ACD}=S_{ABD}=S_{ABC}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác