Đề bài: Cho $n,m \in Z,n,m \geq 2;0

Lời giải

Đề bài:
Cho $n,m \in Z,n,m \geq 2;0
Lời giải

Đặt $S=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n a_{i}>0$
Áp dụng BĐT Bernoulli:
$(\frac{ a_{i}}{S})^{m}=[1+(\frac{ a_{i}-S}{S})]^{m}\geq 1+\frac{ m(a_{i}-S)}{S} (\forall i=1,2,…,n)$

(vì
$\frac{a_i-S}{S}=\frac{a_i}{S}-1> -1$ và $m\geq 2$($\forall i=1,2,…,n))$

$\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^n(\frac{ a_{i}}{S})^{m} \geq n+(\frac{ m(\sum\limits_{i=1}^n a_{i}-nS)}{S})$
$\Rightarrow \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n a_{i}^{m}\geq S^{m}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=…=a_{n}$
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác