Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\log _2^2\left( {2x} \right) – 2m{{\log }_2}\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right)^{\frac{1}{3}}}\) xác định với mọi \(x\) dương. 

Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\log _2^2\left( {2x} \right) – 2m{{\log }_2}\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right)^{\frac{1}{3}}}\) xác định với mọi \(x\) dương. 

A. \(3\).

 B. \(4\).

 C. \(5\).

 D. \(2\).

Lời giải:

Điều kiện xác định \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{\log _2^2\left( {2x} \right) – 2m{{\log }_2}\left( {\frac{x}{2}} \right) > 0\left( 1 \right)}\end{array}} \right.\).

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)^2} – 2m\left( {{{\log }_2}x – 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \log _2^2x + 2\left( {1 – m} \right){\log _2}x + 1 + 2m > 0\). 

Đặt \(t = {\log _2}x,\,t \in \mathbb{R}\) .

Bất phương trình trở thành: \({t^2} + 2\left( {1 – m} \right)t + 1 + 2m > 0\left( 2 \right)\).

Hàm số đã cho xác định với mọi \(x\) dương khi và chỉ khi bất phương trình \(\left( 2 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(t \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta ‘ < 0 \Leftrightarrow {\left( {1 – m} \right)^2} – \left( {1 + 2m} \right) < 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\). 

Vậy có \(3\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán. 

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.