Cho các số thực dương \(a \ne 1,\,b \ne 1\) thỏa mãn \({\log _3}a = {\log _b}81\) và tích \(ab = 729\). Tính giá trị của biểu thức \({\left( {{{\log }_3}\frac{a}{b}} \right)^2}\).

Cho các số thực dương \(a \ne 1,\,b \ne 1\) thỏa mãn \({\log _3}a = {\log _b}81\) và tích \(ab = 729\). Tính giá trị của biểu thức \({\left( {{{\log }_3}\frac{a}{b}} \right)^2}\).

A. \(10\).

 B. \(16\).

 C. \(36\).

 D. \(20\).

Lời giải:

Đặt \({\log _3}a = {\log _b}81 = t\).

Ta có \({\log _b}81 = t \Leftrightarrow \frac{4}{{{{\log }_3}b}} = t \Leftrightarrow {\log _3}b = \frac{4}{t}\).

Theo đề bài: \(ab = 729\) suy ra \({\log _3}\left( {ab} \right) = {\log _3}729 \Leftrightarrow {\log _3}a + {\log _3}b = 6\) suy ra \(t + \frac{4}{t} = 6\).

Ta có \({\left( {{{\log }_3}\frac{a}{b}} \right)^2} = {\left( {{{\log }_3}a – {{\log }_3}b} \right)^2} = {\left( {t – \frac{4}{t}} \right)^2} = {\left( {t + \frac{4}{t}} \right)^2} – 4 \cdot t \cdot \frac{4}{t} = {6^2} – 16 = 20\).

Vậy \({\left( {{{\log }_3}\frac{a}{b}} \right)^2} = 20\).

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.