Cho \(a,b\) là hai số thực dương phân biệt khác \(1\) thỏa mãn \(\log _a^2\left( {{a^3}b} \right).{\log _a}\frac{{{a^2}}}{b} + 2{\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^6} = 0\). Tính \({\log _a}\left( {a{b^2}} \right)\).

Cho \(a,b\) là hai số thực dương phân biệt khác \(1\) thỏa mãn \(\log _a^2\left( {{a^3}b} \right).{\log _a}\frac{{{a^2}}}{b} + 2{\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^6} = 0\). Tính \({\log _a}\left( {a{b^2}} \right)\).

A. \({\log _a}\left( {a{b^2}} \right) = 9\).

 B. \({\log _a}\left( {a{b^2}} \right) = 3\).

 C. \({\log _a}\left( {a{b^2}} \right) = 7\).

 D. \({\log _a}\left( {a{b^2}} \right) = 10\).

Lời giải:

Ta có \(\log _a^2\left( {{a^3}b} \right).{\log _a}\frac{{{a^2}}}{b} + 2{\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^6} = 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}{a^3} + {{\log }_a}b} \right)^2}\left( {{{\log }_a}{a^2} – {{\log }_a}b} \right) + 36{\log _a}a = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3 + {{\log }_a}b} \right)^2}\left( {2 – {{\log }_a}b} \right) + 36 = 0\) (1). 

Đặt \(t = {\log _a}b\) thì (1) trở thành 

\({\left( {3 + t} \right)^2}\left( {2 – t} \right) + 36 = 0 \Leftrightarrow  – {t^3} – 4{t^2} + 3t + 54 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {3 – t} \right)\left( {{t^2} + 7t + 18} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

Khi đó \({\log _a}\left( {a{b^2}} \right) = {\log _a}a + {\log _a}{b^2} = 1 + 2{\log _a}b = 1 + 2t = 7\).

Vậy \({\log _a}\left( {a{b^2}} \right) = 7\).

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.