Cho hai số thực \(a\) và \(b\) biết \(a > b > 1\) và thỏa mãn \(\log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right) = 15\). Giá trị của \({\log _a}b\) bằng

Cho hai số thực \(a\) và \(b\) biết \(a > b > 1\) và thỏa mãn \(\log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right) = 15\). Giá trị của \({\log _a}b\) bằng

A. \(\frac{2}{3}\).

 B. \(\frac{1}{2}\).

 C. \(\frac{3}{2}\).

 D. \(\frac{1}{3}\).

Lời giải:

Ta có: \(\log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right) = 15 \Leftrightarrow 4\log _{\frac{a}{b}}^2a + 3\left( {{{\log }_b}a – 1} \right) = 15\)

\( \Leftrightarrow \frac{4}{{\log _a^2\left( {\frac{a}{b}} \right)}} + 3\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}b}} – 1} \right) = 15\)\( \Leftrightarrow \frac{4}{{{{\left( {1 – {{\log }_a}b} \right)}^2}}} + 3\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}b}} – 1} \right) = 15\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(t = {\log _a}b\). Do \(a > b > 1 \Rightarrow {\log _a}a > {\log _a}b > {\log _a}1 \Leftrightarrow 0 < t < 1\).

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{4}{{{{\left( {1 – t} \right)}^2}}} + 3\left( {\frac{1}{t} – 1} \right) = 15\)

\( \Leftrightarrow 18{t^3} – 39{t^2} + 20t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {2t – 3} \right){\left( {3t – 1} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{3}{2}\,\,\,\,\left( L \right)\\t = \frac{1}{3}\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\). 

Vậy \({\log _a}b = \frac{1}{3}\).

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.