Cho \(a,\,b\) là các số thực thỏa mãn \(0 < a < 1 < b\) và \({\log _a}\frac{b}{{{a^4}}}.{\log _{a{b^2}}}a + {\log _{\sqrt a }}b + 2 = 0\). Giá trị của \({\log _a}b\) bằng

Cho \(a,\,b\) là các số thực thỏa mãn \(0 < a < 1 < b\) và \({\log _a}\frac{b}{{{a^4}}}.{\log _{a{b^2}}}a + {\log _{\sqrt a }}b + 2 = 0\). Giá trị của \({\log _a}b\) bằng

A. \( – 3\).

 B. \(3\).

 C. \(\frac{1}{4}\).

 D. \( – 2\).

Lời giải:

\({\log _a}\frac{b}{{{a^4}}}.{\log _{a{b^2}}}a + {\log _{\sqrt a }}b + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_a}b – 4}}{{{{\log }_a}a{b^2}}} + 2{\log _a}b + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_a}b – 4}}{{2{{\log }_a}b + 1}} + 2{\log _a}b + 2 = 0\)

Đặt \(t = {\log _a}b\). Vì \(0 < a < 1 < b\) nên \(t < 0\).

Ta có: \(\frac{{t – 4}}{{2t + 1}} + 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t – 4 + \left( {2t + 2} \right)\left( {2t + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{t^2} + 7t – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  – 2\\t = \frac{1}{4}\end{array} \right.\). Đối chiếu điều kiện \(t =  – 2\) thỏa mãn.

Vậy \({\log _a}b =  – 2\).

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.