Cho \(x,\,y\) là hai số thực dương khác \(1.\) Biết \({\log _3}x = {\log _y}9\) và \(xy = 81.\) 

Khi đó \(\log _3^2\left( {\frac{x}{y}} \right)\) bằng

  Cho \(x,\,y\) là hai số thực dương khác \(1.\) Biết \({\log _3}x = {\log _y}9\) và \(xy = 81.\) 

A. \(2.\)

 B. \(4.\)

 C. \(6.\)

 D. \(8.\)

Lời giải:

+) Với \(x,\,y\) là hai số thực dương khác \(1,\) ta có: \(xy = 81 \Rightarrow y = \frac{{81}}{x}.\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}{\log _3}x = {\log _y}9 \Leftrightarrow {\log _3}x = \frac{1}{{{{\log }_9}y}} \Leftrightarrow {\log _3}x = \frac{2}{{{{\log }_3}y}} \Leftrightarrow {\log _3}x.{\log _3}y = 2\\ \Leftrightarrow {\log _3}x.{\log _3}\frac{{81}}{x} = 2 \Leftrightarrow {\log _3}x.\left( {4 – {{\log }_3}x} \right) = 2 \Leftrightarrow  – {\left( {{{\log }_3}x} \right)^2} + 4{\log _3}x – 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 2 + \sqrt 2 \\{\log _3}x = 2 – \sqrt 2 \end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \({\log _3}x = 2 + \sqrt 2 \) thì \({\log _3}y = \frac{2}{{{{\log }_3}x}} = \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} = 2 – \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \log _3^2\left( {\frac{x}{y}} \right) = {\left( {{{\log }_3}x – {{\log }_3}y} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8.\)

+) Với \({\log _3}x = 2 – \sqrt 2 \) thì \({\log _3}y = \frac{2}{{{{\log }_3}x}} = \frac{2}{{2 – \sqrt 2 }} = 2 + \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \log _3^2\left( {\frac{x}{y}} \right) = {\left( {{{\log }_3}x – {{\log }_3}y} \right)^2} = {\left( { – 2\sqrt 2 } \right)^2} = 8.\)

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.