Cho \(a > 0,b > 0,{a^2}b \ne 1,a{b^2} \ne 1\) và \({\log _{{a^2}b}}\left( {\frac{{a{b^3}}}{{\sqrt {ab} }}} \right) = \frac{8}{5}\). Tính \({\log _{a{b^2}}}b\).

 Cho \(a > 0,b > 0,{a^2}b \ne 1,a{b^2} \ne 1\) và \({\log _{{a^2}b}}\left( {\frac{{a{b^3}}}{{\sqrt {ab} }}} \right) = \frac{8}{5}\). Tính \({\log _{a{b^2}}}b\).

A. \(\frac{7}{3}\).

 B. \(21\).

 C. \(\frac{7}{3}\).

 D. \(\frac{3}{7}\).

Lời giải:

Nếu \(a = 1\) thì \({\log _{{a^2}b}}\frac{{a{b^3}}}{{\sqrt {ab} }} = {\log _{{b^2}}}\frac{{{b^3}}}{{\sqrt b }} = \frac{5}{4}\) không thoả mãn. Do đó, \(a \ne 1\).

Ta có \({\log _{{a^2}b}}\left( {\frac{{a{b^3}}}{{\sqrt {ab} }}} \right) = \frac{8}{5} \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_a}\left( {\frac{{a{b^3}}}{{\sqrt {ab} }}} \right)}}{{{{\log }_a}{a^2}b}} = \frac{8}{5} \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_a}a{b^3} – {{\log }_a}\sqrt {ab} }}{{{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b}} = \frac{8}{5}\)\( \Leftrightarrow \frac{{1 + 3{{\log }_a}b – \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)}}{{2 + {{\log }_a}b}} = \frac{8}{5} \Leftrightarrow {\log _a}b = 3 \Leftrightarrow b = {a^3}\).

Khi đó, \({\log _{a{b^2}}}b = {\log _{{a^7}}}{a^3} = \frac{3}{7}.\)

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.