nbsp; Có bao nhiêu cặp số dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({\log _2}a\) và \({\log _2}b\) là các số nguyên, đồng thời\(\left( {{{\log }_2}ab – 11} \right).{\log _2}\frac{{{a^2}}}{b} = 3\)?

nbsp; Có bao nhiêu cặp số dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({\log _2}a\) và \({\log _2}b\) là các số nguyên, đồng thời\(\left( {{{\log }_2}ab – 11} \right).{\log _2}\frac{{{a^2}}}{b} = 3\)?

A. \(1\).

 B. \(2\).

 C. \(3\).

 D. \(0\).

Lời giải:

Ta có \(\left( {{{\log }_2}ab – 11} \right).{\log _2}\frac{{{a^2}}}{b} = 3 \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}a + {{\log }_2}b – 11} \right).\left( {2{{\log }_2}a – {{\log }_2}b} \right) = 3\)

Do \({\log _2}a\) và \({\log _2}b\) là các số nguyên nên \({\log _2}a + {\log _2}b – 11\) và \(2{\log _2}a – {\log _2}b\) cũng là các số nguyên.

Suy ra \(\left( {{{\log }_2}a + {{\log }_2}b – 11} \right).\left( {2{{\log }_2}a – {{\log }_2}b} \right) = 3 \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a + {\log _2}b – 11 = 1\\2{\log _2}a – {\log _2}b = 3\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a + {\log _2}b – 11 =  – 1\\2{\log _2}a – {\log _2}b =  – 3\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a + {\log _2}b – 11 = 3\\2{\log _2}a – {\log _2}b = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a + {\log _2}b – 11 =  – 3\\2{\log _2}a – {\log _2}b =  – 1\end{array} \right.\).

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a + {\log _2}b – 11 = 1\\2{\log _2}a – {\log _2}b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a = 5\\{\log _2}b = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 32\\b = 128\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a + {\log _2}b – 11 =  – 1\\2{\log _2}a – {\log _2}b =  – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a = \frac{7}{3}\\{\log _2}b = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.\) (loại).

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a + {\log _2}b – 11 = 3\\2{\log _2}a – {\log _2}b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a = 5\\{\log _2}b = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 32\\b = 512\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a + {\log _2}b – 11 =  – 3\\2{\log _2}a – {\log _2}b =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a = \frac{7}{3}\\{\log _2}b = \frac{{17}}{3}\end{array} \right.\) (loại).

Vậy có 2 cặp số dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.