Gọi \(S\) là tập các số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn \({2^{x + y + 1}} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^{{x^2} + {y^2}}}\). Tính tổng các phần tử của tập \(S\)?

Gọi \(S\) là tập các số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn \({2^{x + y + 1}} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^{{x^2} + {y^2}}}\). Tính tổng các phần tử của tập \(S\)?

A. \(5\).

 B. \(6\).

 C. \(3\).

 D. \(2\).

Lời giải:

\({2^{x + y + 1}} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^{{x^2} + {y^2}}} \Leftrightarrow {4^{x + y + 1}} = {3^{{x^2} + {y^2}}} \Leftrightarrow \left( {x + y + 1} \right){\log _3}4 = {x^2} + {y^2}\).

\( \Leftrightarrow {y^2} – 2\left( {{{\log }_3}2} \right)y + {x^2} – 2\left( {x + 1} \right){\log _3}2 = 0\).

Để tồn tại số thực \(y\)khi và chỉ khi \(\Delta ‘ = {\left( {{{\log }_3}2} \right)^2} + 2\left( {x + 1} \right){\log _3}2 – {x^2} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow  – {x^2} + 2x{\log _3}2 + {\left( {{{\log }_3}2} \right)^2} + 2{\log _3}2 \ge 0 \Leftrightarrow  – 0,8036 \le x \le 2,0655\).

Do \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;2} \right\}\). Vậy tổng cần tìm là \(3\).

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.