Cho \(a,\,b\) là hai số thực thỏa mãn \(0 < a < 1 < b\) và \(\left( {\log _a^2\left( {\frac{a}{b}} \right) + 2{{\log }_a}b – 5} \right)\left( {2{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right) – 7} \right) = 0\). Chọn khẳng định đúng.

 Cho \(a,\,b\) là hai số thực thỏa mãn \(0 < a < 1 < b\) và \(\left( {\log _a^2\left( {\frac{a}{b}} \right) + 2{{\log }_a}b – 5} \right)\left( {2{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right) – 7} \right) = 0\). Chọn khẳng định đúng.

A. \({b^2}a = 1\).

 B. \({a^2}b = 1\).

 C. \({a^3} = \frac{1}{b}\).

 D. \({b^3} = \frac{1}{a}\).

Lời giải:

Ta có: \(\left( {\log _a^2\left( {\frac{a}{b}} \right) + 2{{\log }_a}b – 5} \right)\left( {2{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right) – 7} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log _a^2\left( {\frac{a}{b}} \right) + 2{\log _a}b – 5 = 0\\2{\log _a}\left( {{a^2}b} \right) – 7 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {{{\log }_a}a – {{\log }_a}b} \right)^2} + 2{\log _a}b – 5 = 0\\2\left( {{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b} \right) – 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {1 – {{\log }_a}b} \right)^2} + 2{\log _a}b – 5 = 0\\2\left( {2 + {{\log }_a}b} \right) – 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 – 2{\log _a}b + \log _{_a}^2b + 2{\log _a}b – 5 = 0\\2\left( {2 + {{\log }_a}b} \right) – 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log _a^2b – 4 = 0\\{\log _a}b = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _a}b =  – 2\\{\log _a}b = 2\\{\log _a}b = \frac{3}{2}\end{array} \right.\). 

Do \(0 < a < 1 < b\) nên \({\log _a}b < 0\) suy ra \({\log _a}b =  – 2 \Leftrightarrow b = {a^{ – 2}} \Leftrightarrow {a^2}b = 1\).

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.