Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương phân biệt khác \(1\) và thỏa mãn \({\log _a}\left( {{a^5}b} \right).\log _a^2\left( {\frac{{{b^2}}}{{{a^3}}}} \right) + 13{\log _a}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}} \right) = 19\). Giá trị của \({\log _{{b^2}}}\left( {{a^3}b} \right)\) bằng

Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương phân biệt khác \(1\) và thỏa mãn \({\log _a}\left( {{a^5}b} \right).\log _a^2\left( {\frac{{{b^2}}}{{{a^3}}}} \right) + 13{\log _a}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}} \right) = 19\). Giá trị của \({\log _{{b^2}}}\left( {{a^3}b} \right)\) bằng

A. \( – 4\).

 B. \(0\).

 C. \( – \frac{1}{3}\).

 D. \( – 3\).

Lời giải:

Ta có: \({\log _a}\left( {{a^5}b} \right).\log _a^2\left( {\frac{{{b^2}}}{{{a^3}}}} \right) + 13{\log _a}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}} \right) = 19\)\( \Leftrightarrow \left( {5 + {{\log }_a}b} \right).{\left( {2{{\log }_a}b – 3} \right)^2} + 13\left( {3{{\log }_a}b – 2} \right) – 19 = 0\).

Đặt \(t = {\log _a}b\,\,\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)\). Ta có phương trình

\({\left( {2t – 3} \right)^2}\left( {t + 5} \right) + 13\left( {3t – 2} \right) – 19 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {4{t^2} – 12t + 9} \right)\left( {t + 5} \right) + 39t – 45 = 0\)\( \Leftrightarrow 4{t^3} + 8{t^2} – 12t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\,\,\,\,\left( {loa\”i i} \right)\\t = 1\,\,\,\,\,\left( {loa\”i i} \right)\\t =  – 3\,\,\left( {tho\^u a\,\,ma\~o n} \right)\end{array} \right.\).

Suy ra \({\log _a}b =  – 3 \Leftrightarrow {\log _b}a =  – \frac{1}{3}\).

Vậy \({\log _{{b^2}}}\left( {{a^3}b} \right) = \frac{1}{2}\left( {3{{\log }_b}a + 1} \right) = 0\).

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.