Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {a\,;\,\,b} \right)\) thoả mãn \({\log _2}\left( {{3^{{a^2}}} + 1} \right) + {b^2} – 3b \le 0\)?

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {a\,;\,\,b} \right)\) thoả mãn \({\log _2}\left( {{3^{{a^2}}} + 1} \right) + {b^2} – 3b \le 0\)?

A. \(1\).

 B. \(3\).

 C. \(6\).

 D.\(9\).

Lời giải:

Ta có: \({\log _2}\left( {{3^{{a^2}}} + 1} \right) + {b^2} – 3b \le 0\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{3^{{a^2}}} + 1} \right) \le  – {b^2} + 3b\).

Do \({\log _2}\left( {{3^{{a^2}}} + 1} \right) \ge {\log _2}\left( {{3^0} + 1} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{3^{{a^2}}} + 1} \right) \ge 1\).

Khi đó: \( – {b^2} + 3b \ge 1,b \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{{3 – \sqrt 5 }}{2} \le b \le \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2},b \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 2\end{array} \right.\).

+) Với \(b = 1\), ta có: \({\log _2}\left( {{3^{{a^2}}} + 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow {3^{{a^2}}} \le 3 \Leftrightarrow {a^2} \le 1 \Leftrightarrow  – 1 \le a \le 1\).

Mà \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  – 1\\a = 0\\a = 1\end{array} \right.\).

+) Với \(b = 2\), ta có: \({\log _2}\left( {{3^{{a^2}}} + 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow {3^{{a^2}}} \le 3 \Leftrightarrow {a^2} \le 1 \Leftrightarrow  – 1 \le a \le 1\).

Mà \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  – 1\\a = 0\\a = 1\end{array} \right.\).

Vậy có 6 cặp số nguyên \(\left( {a\,;\,\,b} \right)\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.