Cho các số thực \(a,b\) thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\) thoả mãn \({\log _{ab}}a = \log _a^2\left( {\frac{a}{b}} \right)\). Giá trị của biểu thức \(\frac{{\ln a}}{{\ln b}}\) bằng.

Cho các số thực \(a,b\) thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\) thoả mãn \({\log _{ab}}a = \log _a^2\left( {\frac{a}{b}} \right)\). Giá trị của biểu thức \(\frac{{\ln a}}{{\ln b}}\) bằng.

A. \(\sqrt 5  – 1\).

 B. \(\frac{{\sqrt 5  – 1}}{2}\).

 C. \(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\).

 D. \(\frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\).

Lời giải:

Giả thiết: \({\log _{ab}}a = \log _a^2\left( {\frac{a}{b}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_a}a}}{{{{\log }_a}ab}} = {\left( {{{\log }_a}a – {{\log }_a}b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{1 + {{\log }_a}b}} = {\left( {1 – {{\log }_a}b} \right)^2}\)

Đặt \(t = {\log _a}b\). 

Do \(a,\,b \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow {\log _a}b > 0\)\( \Rightarrow t > 0\).

Từ giả thiết ta có \(\frac{1}{{1 + t}} = {\left( {1 – t} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {1 – t} \right)^2}\left( {1 + t} \right) = 1 \Leftrightarrow {t^3} – {t^2} – t = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,({\rm{ktm}})\\t = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,({\rm{ktm}})\\t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,({\rm{tm}})\end{array} \right.\)

Vậy \(\frac{{\ln a}}{{\ln b}} = {\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = \frac{1}{{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 5  – 1}}{2}\).

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.