Cho hai số thực dương \(a,\,\,b\) (\(b \ne 1\)) và thỏa mãn \({a^2} – 4ab – 5{b^2} = 0\). Tính giá trị biểu thức \(T = {\log _{125}}\frac{a}{b}.{\log _b}\frac{{{a^3}}}{{125b}}\).

  Cho hai số thực dương \(a,\,\,b\) (\(b \ne 1\)) và thỏa mãn \({a^2} – 4ab – 5{b^2} = 0\). Tính giá trị biểu thức \(T = {\log _{125}}\frac{a}{b}.{\log _b}\frac{{{a^3}}}{{125b}}\).

A. \(\frac{2}{3}\).

 B. \(\frac{3}{2}\).

 C. \(\frac{2}{5}\).

 D. \(1\).

Lời giải:

Từ giả thiết ta có \({a^2} – 4ab – 5{b^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} + ab – 5ab – 5{b^2} = 0 \Leftrightarrow a\left( {a + b} \right) – 5b\left( {a + b} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a – 5b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  – b\\a = 5b\end{array} \right.\).

Trường hợp: \(a =  – b\) (loại vì \(a,\,\,b\) dương).

Trường hợp: \(a = 5b\).

Ta có \(T = {\log _{125}}\frac{a}{b}.{\log _b}\frac{{{a^3}}}{{125b}} = {\log _{\left( {{5^3}} \right)}}\left( {\frac{{5b}}{b}} \right).{\log _b}\left[ {\frac{{{{\left( {5b} \right)}^3}}}{{125b}}} \right] = \frac{1}{3}{\log _5}5.{\log _b}\left( {{b^2}} \right) = \frac{2}{3}\).

Vậy  \(T = \frac{2}{3}\).

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.