Cho \(a,\,b\)là các số thực thỏa mãn \(1 < a \le b \le {a^6}\).Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left[ {{{\log }_a}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right)} \right]^2} + 3{\log _{\sqrt[4]{a}}}b – 1\) . Tính \(M + 2m\)?

A. \(12\).

 B. \(99\).

 C. \(87\).

 D. \(111\).

Lời giải:

Vì \(1 < a \le b \le {a^6}\) nên \(1 \le {\log _a}b \le 6\).

\(P = {\left[ {{{\log }_a}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right)} \right]^2} + 3{\log _{\sqrt[4]{a}}}b – 1 = {\left( {2 – {{\log }_a}b} \right)^2} + 12{\log _a}b – 1\)\( = \log _a^2b + 8{\log _a}b + 3\).

Đặt \(t = {\log _a}b\) ta có \(t \in \left[ {1;\,6} \right]\). Xét hàm số \(y = {t^2} + 8t + 3\).

Từ bảng biến thiên suy ra \(M = 87;\,\,m = 12\) . Vậy \(M + 2m = 111\) .