Cho hai số thực dương \(a,{\rm{ }}b\) thỏa mãn \(\log _{20}^{}a – \log _8^{}b = 0,\,\log _8^{}b – \log _{125}^{}\left( {5a + 12b} \right) = 0\). Tính \(P = \log _2^{}\left( {a + b} \right) – \log _2^{}b\).

 Cho hai số thực dương \(a,{\rm{ }}b\) thỏa mãn \(\log _{20}^{}a – \log _8^{}b = 0,\,\log _8^{}b – \log _{125}^{}\left( {5a + 12b} \right) = 0\). Tính \(P = \log _2^{}\left( {a + b} \right) – \log _2^{}b\).

A. \(P = 3\).

 B. \(P = 2\).

 C. \(P = 2\).

 D. \(P = 8\).

Lời giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}\log _{20}^{}a – \log _8^{}b = 0 \Leftrightarrow \log _{20}^{}a = \log _8^{}b\\\log _8^{}b – \log _{125}^{}\left( {5a + 12b} \right) = 0 \Leftrightarrow \log _8^{}b = \log _{125}^{}\left( {5a + 12b} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \log _{20}^{}a = \log _8^{}b = \log _{125}^{}\left( {5a + 12b} \right)\)

Đặt \(\log _{20}^{}a = \log _8^{}b = \log _{125}^{}\left( {5a + 12b} \right) = x\) 

Có \(\left\{ \begin{array}{l}a = {20^x}\\b = {8^x}\\5a + 12b = {125^x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x}{\rm{                   }}(1)\\{5.20^x} + {12.8^x} = {125^x}{\rm{   }}(2)\end{array} \right.\)

(2)\( \Leftrightarrow 5.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} + 12 = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{3x}}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{3x}} – 5.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} – 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} = 3\).

Khi đó \((1) \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 3\) 

Suy ra \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{a}{b} + 1 = 4\). 

Lại có \(\log _2^{}\left( {a + b} \right) – \log _2^{}b = \log _2^{}\frac{{a + b}}{b} = \log _2^{}4 = 2\)

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.