Cho \(x,\,y\) là hai số thực dương thỏa mãn \({\log _4}x = {\log _6}y = {\log _9}\left( {x + y} \right) – \frac{1}{2}{\log _3}2\). Mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\) là

Cho \(x,\,y\) là hai số thực dương thỏa mãn \({\log _4}x = {\log _6}y = {\log _9}\left( {x + y} \right) – \frac{1}{2}{\log _3}2\). Mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\) là

A. \(x = 2y\).

 B. \(y = 2x\).

 C. \(x = 4y\).

 D. \(x = y\).

Lời giải:

Ta có \({\log _9}\left( {x + y} \right) – \frac{1}{2}{\log _3}2\) \( = {\log _9}\left( {x + y} \right) – {\log _9}2\)\( = {\log _9}\left[ {\frac{1}{2}\left( {x + y} \right)} \right]\).

Nên \({\log _4}x = {\log _6}y = {\log _9}\left( {x + y} \right) – \frac{1}{2}{\log _3}2\)\( \Leftrightarrow {\log _4}x = {\log _6}y = {\log _9}\left[ {\frac{1}{2}\left( {x + y} \right)} \right]\)

Đặt \({\log _4}x = {\log _6}y = {\log _9}\left[ {\frac{1}{2}\left( {x + y} \right)} \right] = t\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {6^t}\\x + y = {2.9^t}\end{array} \right.\)

Suy ra \({4^t} + {6^t} = {2.9^t}\)\( \Leftrightarrow {4^t} + {6^t} – {2.9^t} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} – 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = 1\\{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} =  – 2\end{array} \right.\).

Do \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} > 0\) nên nhận \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = 1 \Leftrightarrow t = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {4^0} = 1\\y = {6^0} = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(x = y\).

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.