Cho \(a\,,\,\,b\) là các số thực dương khác 1 thoả mãn \({\log _a}\left( {{a^2}b} \right){\log _b}^2\left( {a{b^2}} \right) = 27{\log _a}b\) thì \(b = {a^\alpha }\), giá trị \(\alpha \) nằm trong khoảng nào sau đây

Cho \(a\,,\,\,b\) là các số thực dương khác 1 thoả mãn \({\log _a}\left( {{a^2}b} \right){\log _b}^2\left( {a{b^2}} \right) = 27{\log _a}b\) thì \(b = {a^\alpha }\), giá trị \(\alpha \) nằm trong khoảng nào sau đây

A. \(\left( { – 2;0} \right)\).

 B. \(\left( {0;2} \right)\).

 C. \(\left( {2;4} \right)\).

 D. \(\left( {4;5} \right)\).

Lời giải:

Ta có: \({\log _a}\left( {{a^2}b} \right){\log _b}^2\left( {a{b^2}} \right) = 27{\log _a}b \Leftrightarrow \left( {2 + {{\log }_a}b} \right){\left( {2 + {{\log }_b}a} \right)^2} = 27{\log _a}b\).

Đặt \({\log _a}b = t\) ta có: \(\left( {2 + t} \right){\left( {2 + \frac{1}{t}} \right)^2} = 27t \Leftrightarrow \left( {t + 2} \right)\left( {4{t^2} + 4t + 1} \right) = 27{t^3}\)

\( \Leftrightarrow 23{t^3} – 12{t^2} – 9t – 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow {\log _a}b = 1 \Leftrightarrow b = {a^1}\).

Suy ra \(\alpha  = 1\).

Vậy chọn phương án 

 B.

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.