Ông An mua một cái bể để nuôi cá cảnh, bể cá có mặt ngoài là khối cầu có bán kính là \(5\,{\rm{dm}}\), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng \(3\,{\rm{dm}}\). Biết rằng giá của bể được tính là \(30.000\) đồng/\({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Số tiền mà Ông An bỏ ra để mua bể cá gần với con số nào dưới đây?

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), xét đường tròn \((C):{(x – 5)^2} + {y^2} = 25\). Ta thấy nếu cho nửa trên trục \(Ox\) của \(\left( C \right)\) quay quanh trục \(Ox\) ta được mặt cầu bán kính bằng 5.

Nếu cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi nửa trên trục \(Ox\) của \(\left( C \right)\), trục \(Ox\), hai đường thẳng \(x = 0,{\rm{ }}x = 2\) quay xung quanh trục \(Ox\) ta sẽ được khối tròn xoay là một phần trong hai phần được cắt đi của khối cầu trong đề bài.

Ta có \({(x – 5)^2} + {y^2} = 25 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {25 – {{(x – 5)}^2}} \).

Do đó nửa trên trục \(Ox\) của \(\left( C \right)\) có phương trình \(y = \sqrt {25 – {{(x – 5)}^2}}  = \sqrt {10x – {x^2}} \).

Từ đây thể tích vật thể tròn xoay khi cho \(\left( H \right)\) quay quanh \(Ox\) là:

\({V_1} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {10x – {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\pi \left( {5{x^2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{52\pi }}{3}\) (\({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

Thể tích khối cầu là: \({{\rm{V}}_2} = \frac{4}{3}\pi {.5^3} = \frac{{500\pi }}{3}\)(\({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

Thể tích cần tìm: \(V = {V_2} – 2{V_1} = \frac{{500\pi }}{3} – 2.\frac{{52\pi }}{3} = 132\pi \left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Số tiền Ông An bỏ ra để mua bể là \(T = 132\pi .30.000 \approx 12.440.706\).

  DẠNG TOÁN 44 KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Ông An mua một cái bể để nuôi cá cảnh, bể cá có mặt ngoài là khối cầu có bán kính là \(5\,{\rm{dm}}\), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng \(3\,{\rm{dm}}\). Biết rằng giá của bể được tính là \(30.000\) đồng/\({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Số tiền mà Ông An bỏ ra để mua bể cá gần với con số nào dưới đây?

A. \(12.500.000\) đồng. 

B. \(12.000.000\) đồng. 

C. \(13.500.000\) đồng. 

D. \(13.00.000\) đồng.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), xét đường tròn \((C):{(x – 5)^2} + {y^2} = 25\). Ta thấy nếu cho nửa trên trục \(Ox\) của \(\left( C \right)\) quay quanh trục \(Ox\) ta được mặt cầu bán kính bằng 5.

Nếu cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi nửa trên trục \(Ox\) của \(\left( C \right)\), trục \(Ox\), hai đường thẳng \(x = 0,{\rm{ }}x = 2\) quay xung quanh trục \(Ox\) ta sẽ được khối tròn xoay là một phần trong hai phần được cắt đi của khối cầu trong đề bài.

Ta có \({(x – 5)^2} + {y^2} = 25 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {25 – {{(x – 5)}^2}} \).

Do đó nửa trên trục \(Ox\) của \(\left( C \right)\) có phương trình \(y = \sqrt {25 – {{(x – 5)}^2}}  = \sqrt {10x – {x^2}} \).

Từ đây thể tích vật thể tròn xoay khi cho \(\left( H \right)\) quay quanh \(Ox\) là:

\({V_1} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {10x – {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\pi \left( {5{x^2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{52\pi }}{3}\) (\({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

Thể tích khối cầu là: \({{\rm{V}}_2} = \frac{4}{3}\pi {.5^3} = \frac{{500\pi }}{3}\)(\({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

Thể tích cần tìm: \(V = {V_2} – 2{V_1} = \frac{{500\pi }}{3} – 2.\frac{{52\pi }}{3} = 132\pi \left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Số tiền Ông An bỏ ra để mua bể là \(T = 132\pi .30.000 \approx 12.440.706\).