Khối (H) được tạo thành là phần chung khi giao nhau hai khối nón có cùng chiều cao h, có các bán kính đường tròn đáy lần lượt là R và r sao cho đỉnh của khối nón này trùng với tâm đường tròn đáy của khối nón kia. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối (H), biết rằng R và r thoả mãn phương trình \({X^2} – {(x + y)^2}X + xy = 0\quad \left( {x,y > \frac{1}{2}} \right)\).

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Khối (H) được tạo thành là phần chung khi giao nhau hai khối nón có cùng chiều cao h, có các bán kính đường tròn đáy lần lượt là R và r sao cho đỉnh của khối nón này trùng với tâm đường tròn đáy của khối nón kia. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối (H), biết rằng R và r thoả mãn phương trình \({X^2} – {(x + y)^2}X + xy = 0\quad \left( {x,y > \frac{1}{2}} \right)\).
A.\(\frac{1}{{48}}\pi h\).
B. \(\frac{1}{{16}}\pi h\).
C. \(\pi h\).
D. \(\frac{1}{{12}}\pi h\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT

Giả sử R > r. Ta có hình minh hoạ như trên.
Gọi a là bán kính đường tròn giao tuyến, b là khoảng cách từ tâm đường tròn giao tuyến đến tâm đường tròn có bán kính R.
Sử dụng các tam giác đồng dạng, ta suy ra
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{r} = \frac{b}{h}}\\{\frac{a}{R} = \frac{{h – b}}{h}}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{R}{r} = \frac{b}{{h – b}} \Rightarrow b = \frac{{Rh}}{{R + r}};\quad \\ \Rightarrow a = \frac{r}{h}b = \frac{{Rr}}{{R + r}}.\end{array}\)
Mặc khác \({V_{(H)}} = \frac{1}{3}\pi {a^2}b + \frac{1}{3}\pi {a^2}(h – b) = \frac{1}{3}\pi {a^2}h\).
Xét phương trình ẩn \(X\): \({X^2} – {(x + y)^2}X + xy = 0\quad \left( {x,y > 0} \right)\) có
\({\Delta _X} = {(x + y)^4} – 4{\rm{x}}y \ge {(2\sqrt {xy} )^4} – 4{\rm{x}}y > 0,\;\forall x,y > \frac{1}{2}\).
Theo vi-ét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S_X} = {{\left( {x + y} \right)}^2} > 0}\\{{P_X} = xy > 0}\end{array}} \right.,\quad \forall x,y > \frac{1}{2}\).
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt là R và r.
Theo bất đẳng thức Cô-si, \(a = \frac{{Rr}}{{R + r}} = \frac{{xy}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \le \frac{{\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{1}{4},\forall x,y > \frac{1}{2}\). Suy ra \({V_{(H)}} = \frac{1}{3}\pi h{a^2} \le \frac{1}{3}\pi h{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{1}{{48}}\pi h,\;\;\forall x,y > \frac{1}{2}.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y > \frac{1}{2}.\) Vậy \(\max {V_{\left( H \right)}} = \frac{1}{{48}}\pi h\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)