Hình vẽ dưới đây mô tả một ngọn núi có dạng hình nón. Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí \(A\) và dừng ở vị trí \(B\). Biết rằng người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ \(A\) đến \(B\), đoạn đường đầu là phần lên dốc từ \(A\) và đoạn sau sẽ xuống dốc đến \(B\). Tính quãng đường xuống dốc khi đi từ \(A\) đến \(B\) cho biết \(AB = 15\,{\rm{m}}\), \(OA = 90\,{\rm{m}}\), bán kính đường tròn đáy nón \(R = 30\,{\rm{m}}\).

DẠNG TOÁN 44 KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Hình vẽ dưới đây mô tả một ngọn núi có dạng hình nón. Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí \(A\) và dừng ở vị trí \(B\). Biết rằng người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ \(A\) đến \(B\), đoạn đường đầu là phần lên dốc từ \(A\) và đoạn sau sẽ xuống dốc đến \(B\). Tính quãng đường xuống dốc khi đi từ \(A\) đến \(B\) cho biết \(AB = 15\,{\rm{m}}\), \(OA = 90\,{\rm{m}}\), bán kính đường tròn đáy nón \(R = 30\,{\rm{m}}\).

A. \(\frac{{400}}{{\sqrt {91} }}\left( {\rm{m}} \right)\). 

B. \(0\left( {\rm{m}} \right)\). 

C. \(\frac{{600}}{{\sqrt {91} }}\left( {\rm{m}} \right)\). 

D. \(15\sqrt {91} \left( {\rm{m}} \right)\).

 

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Trải phẳng: Cắt mặt nón theo đường sinh đi qua điểm \(A\), trải phẳng như hình vẽ.

Gọi \(C\) là đỉnh dốc, do người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ \(A\) đến \(B\) nên \(B\), \(C\), \(A’\) thẳng hàng.

Ta có \(OA = 90\), \(OB’ = 75\), \(B’A’ = 15\), bán kính đường tròn đáy hình nón \(R = 30\).

Chu vi đường tròn chân núi \(l = 2\pi .R = 2\pi .30 = 60\pi \).

Đường tròn tâm \(O\), bán kính \(OA = 90\) có chiều dài cung \(AA’\) là \(60\pi \).

Góc ở đỉnh của đường tròn tâm \(O\), khi trải phẳng

Có \(\widehat {AOB’} = \frac{{60\pi }}{{90}} = \frac{{2\pi }}{3}\).

\(\Delta A’OB\) có \(OB = 75\), \(OA’ = 90\), \(\widehat {A’OB} = \frac{{2\pi }}{3}\).

\( \Rightarrow A'{B^2} = O{A’^2} + O{B^2} – 2OA’.OB.\cos \widehat {A’OB} = 20475\)

\( \Rightarrow A’B = 15\sqrt {91} \).

Điểm \(C \in A’B\), \(C\) là đỉnh cao nhất của dốc khi \(OC\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow OC \bot A’B\).

Đoạn xuống dốc là \(CB\).

Ta có \(O{C^2} = O{A’^2} – C{A’^2} = O{B^2} – B{C^2} \Leftrightarrow C{A’^2} – C{B^2} = O{A’^2} – O{B^2} = 2475\)

\( \Rightarrow \left( {CA’ + CB} \right)\left( {CA’ – CB} \right) = 2475\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CA’ + CB = 15\sqrt {91} \\CA’ – CB = \frac{{165\sqrt {91} }}{{91}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow CB = \frac{{600}}{{\sqrt {91} }}\).