Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \sqrt {4z – 1} \\y + z = \sqrt {4x – 1} \\z + x = \sqrt {4y – 1} \end{array} \right.\).

[Mức độ 3] Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \sqrt {4z – 1} \\y + z = \sqrt {4x – 1} \\z + x = \sqrt {4y – 1} \end{array} \right.\).

Lời giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \sqrt {4z – 1} \,\,\,\left( 1 \right)\\y + z = \sqrt {4x – 1} \,\,\,\,\left( 2 \right)\\z + x = \sqrt {4y – 1} \,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\).
Điều kiện: \(x,\,y,\,z\, \ge \frac{1}{4}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có
\(\sqrt {4z – 1} = \sqrt {\left( {4z – 1} \right).1} \le \frac{{\left( {4z – 1} \right) + 1}}{2} = 2z\,\,\,\left( {1′} \right)\).
\(\sqrt {4x – 1} = \sqrt {\left( {4x – 1} \right).1} \le \frac{{\left( {4x – 1} \right) + 1}}{2} = 2x\,\,\,\left( {2′} \right)\).
\(\sqrt {4y – 1} = \sqrt {\left( {4y – 1} \right).1} \le \frac{{\left( {4y – 1} \right) + 1}}{2} = 2y\,\,\,\left( {3′} \right)\).
Từ \(\left( {1′} \right);\,\left( {2′} \right);\,\left( {3′} \right)\) và \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right);\,\left( 3 \right)\) suy ra
\(2\left( {x + y + z} \right) = \sqrt {4z – 1} + \sqrt {4x – 1} + \sqrt {4y – 1} \le 2z + 2x + 2y\) \(\left( 4 \right)\).
Từ \(\left( 4 \right)\) suy ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \sqrt {4z – 1} \\y + z = \sqrt {4x – 1} \\z + x = \sqrt {4y – 1} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4z – 1 = 1\\4x – 1 = 1\\4y – 1 = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{2}\).
Vậy hệ có nghiệm \(x = y = z = \frac{1}{2}\).