Đề bài: Giải hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4\\{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 4\end{array} \right.\)

Lời giải

Từ phương trình thứ nhất ta có: 
\({4^2} = {\left( {x + y +
\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)^2} \le 4.\left( {{x^2} + {y^2} +
\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right) = 4^2\)
\( \Rightarrow x = y = \frac{1}{x} = \frac{1}{y} = 1 \Rightarrow x = y = 1\)
Kiểm tra trực tiếp thấy $x = 1, y = 1$ thỏa mãn hệ.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x = y = 1$.

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng