Đề bài: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt y  + y\sqrt x  = 30\\x\sqrt x  + y\sqrt y  = 35\end{array} \right.\)

Lời giải

Điều kiện : $ x, y \ge 0 $.
HPT \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {xy}(\sqrt x +\sqrt y)  = 30\\
(\sqrt x +\sqrt y)(x+y-\sqrt {xy})  = 35
\end{array} \right. \)
Đặt $ a= \sqrt x +\sqrt y ,   b =\sqrt {xy} $ thì
HPT $\Leftrightarrow \begin{cases}ab=30 \\ a(a^2-3b)=35 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}3b=\frac{90}{a} \\ a(a^2-\frac{90}{a})=35 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}3b=\frac{90}{a} \\ a(a^2-\frac{90}{a})=35 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}3b=\frac{90}{a} \\ a^3=125 \end{cases}$

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x .\sqrt y  = 6\\
\sqrt x  + \sqrt y  = 5
\end{array} \right.\)
\(\sqrt x ,\sqrt y \) là hai nghiệm của \({t^2} – 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 9,\,\,y = 4\\
x = 4,\,\,y = 9
\end{array} \right.\)

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng