Đề bài:    Cho hệ phương trình: \(\begin{cases}xy+x^2=m(y-1) \\ xy+y^2=m(x-1) \end{cases}\)a) Giải hệ phương trình khi \(m=-1\)b) Tìm giá trị của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải

Giải
Hệ phương trình tương đương với:
    \(\begin{cases}xy+x^2=m(y-1) \\ x^2-y^2=m(y-x) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}xy+x^2=m(y-1) \\ (x-y)(x+y+m)=0 \end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=y \\ 2x^2-m(x-1)=0 \end{cases}\)   (I) hoặc \(\begin{cases}y=-x-m \\ m^2+m=0 \end{cases}\)    (II)

a) Khi \(m=-1\) hệ phương trình trở thành:
   \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=y \\ 2x^2+x-1=0 \end{cases}\\\begin{cases}y=-x-m \\ 0= 0\end{cases}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =y= 1\\x=y = \frac{1}{2}\\  x=t, y=-t+1 (t\in R)\end{array} \right.\)
Vậy với m=-1 hệ đã cho có nghiệm $(x;y)=(1;1),(t;-t+1)              (t \in R)$

b) Do hệ (II) không có nghiệm duy nhất nên đề bài thỏa mãn khi (I) có nghiệm duy nhất.
     (I) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=y \\ 2x^2-mx+m=0  (*) \end{cases}\)
     (I) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow (*)\) có nghiệm duy nhất.
\(\Leftrightarrow \Delta=0 \Leftrightarrow m^2-8m=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 8\end{array} \right.\)
Khi \(m=0\) hệ phương trình (II) thỏa mãn với \(\begin{cases}x\in R \\ y=-x \end{cases}\) ( loại).
Khi \(m=8\) hệ phương trình (II) vô nghiệm \(\Rightarrow \) Hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất.

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng