• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề: Xét hàm số $y =  – 2x + k\sqrt {{x^2} + 1} $a) Với $k = 3$ hãy lập bảng biến thiên của hàm số và xác định các tiệm cận của đồ thị.b) Với giá trị nào của $k$ thì hàm số có cực tiểu.

Đăng ngày: 03/03/2020 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Cực trị của hàm số

ham so
Đề bài: Xét hàm số $y =  – 2x + k\sqrt {{x^2} + 1} $a) Với $k = 3$ hãy lập bảng biến thiên của hàm số và xác định các tiệm cận của đồ thị.b) Với giá trị nào của $k$ thì hàm số có cực tiểu.

Lời giải

a) Với $k = 3$, ta có hàm số
        $y = – 2x + 3\sqrt {{x^2} + 1} $
Hàm số được xác định với mọi $x$ và có đạo hàm
        $y’ = – 2 + \frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{3x – 2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$
 Ta có
    $y’ \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 2\sqrt {{x^2} + 1} $,
Suy ra $x > 0$; bình phương hai vế ta được
    $9{x^2} \ge 4({x^2} + 1) \Rightarrow x > 2/\sqrt {15} $
Từ đó ta có bảng biến thiên:
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\sqrt {{x^2} + 1}  – \left| x \right|) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} + 1}  – \left| x \right|)(\sqrt {{x^2} + 1}  + \left| x \right|)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + \left| x \right|}}$
         $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + \left| x \right|}} = 0$ nên tiệm cận xiên là $y =  – 2x + 3\left| x \right|$
Vậy tiệm cận xiên bên trái $(x \to – \infty  \Rightarrow \left| x \right| = – x)$ là $y = – 5x$;
Tiệm cận xiên bên phải $(x \to +\infty  \Rightarrow \left| x \right| = x)$ là $y = x$

b) Trong trường hợp tổng quát hàm số có đạo hàm:
    $y’ = – 2 + \frac{{kx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }},{\rm{  y”}} = \frac{k}{{{{({x^2} + 1)}^{3/2}}}}$
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại $x = {x_o}$ là $y'({x_o}) = 0$ và $y”({x_o}) > 0$ suy ra $k > 0$ và $k{x_o} = 2\sqrt {x_o^2 + 1}  \Rightarrow {x_o} > 0$ và ${k^2}x_o^2 = 4x_o^2 + 4 \Rightarrow ({k^2} – 4)x_o^2 = 4$.
Phương trình này phải có nghiệm, vậy ${k^2} – 4 > 0 \Rightarrow k > 2$
Tóm lại với $k > 2$ hàm số có cực tiểu; khi có cực tiểu đạt được tại ${x_o} = 2/\sqrt {{k^2} – 4} $

Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Cực trị của hàm số

Bài liên quan:

  1. Chứng minh rằng hàm số \(y = {x^4} – 6{x^2} + 4x + 6\) luôn luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
  2. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

  3. Đề: Cho hàm số: $y = x^4 – 2mx^2 + 2m + m^4$$1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu? Đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$
  4. Đề: Cho hàm:  $y = {x^3} + m{x^2} – 1$a) Chứng minh rằng với mọi $m \ne 0$, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.b) Chứng minh rằng với mọi $m$, phương trình ${x^3} + m{x^2} – 1 = 0$ luôn có một nghiệm dương.c) Xác định $m$ để phương trình ${x^3} + m{x^2} – 1 = 0$ có một nghiệm duy nhất
  5. Đề: Cho hàm số: $y = 2{x^3} – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\,\,\,      (1)$$1.$ Khảo sát hàm số $(1)$ khi $m = 1.$$2.$ Chứng minh rằng với mọi $m$, hàm số ($1$) luôn đạt cực trị tại $x_1; x_2$ với $x_2 – x_1$ không phụ thuộc $m.$
  6. Đề: Cho hàm số $y = x^3 + (1 – 2m)x^2 + (2 – m)x + m + 2 (C)$. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn $x_{CT} < 2$
  7. Đề: Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} + (m + 2)x – m}}{{x + 1}}$                (1)a) Với giá trị nào của $m$, hàm số (1) có cực đại, cực tiểu?b) Xác định giá trị của $m$ để cho đường thẳng $y =  – (x + 4)$ cắt đường cong (1) tại hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng phân giác của góc phần tư thứ nhất
  8. Đề: Cho hàm số $y = {x^3} + (1 – 2m){x^2} + (2 – m)x + m + 2\,\,\,\, (C)$. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1.
  9. Đề: Xem hàm số: $y = \frac{{{x^2} + m({m^2} – 1)x – {m^4} + 1}}{{x – m}}$a) Chứng minh rằng với mọi giá trị $m$, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.b) Chứng minh rằng trên mặt phẳng tọa độ tồn tại một điểm duy nhất với tính chất: nó là điểm cực đại cả đồ thị ứng với một giá trị nào đó của $m$, và nó là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với một giá trị khác của $m$
  10. Đề: Cho hàm số \(y = \frac{{2{m^2}{x^2} + \left( {2 – {m^2}} \right)\left( {mx + 1} \right)}}{{mx + 1}}\,\,\left( 1 \right)\)$1$. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô trên $m= -2$$2$. Chứng minh  rằng với mọi $m$ \( \ne 0\), hàm số $(1)$ luôn có cực đại và cực tiểu.$3$. Chứng minh với mọi $m$ \( \ne 0\),tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $(1)$ luôn tiếp xúc với parabol cố định. Tìm phương trình của parabol đó.
  11. Đề: Cho hàm số       $y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – m}}$            (1)1)    Xác định tham số $m$ để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp đó.2) Tìm $m$ để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện:  $| {{y_{CD}} – {y_{CT}}} | > 8$3) Giả sử $m \ne 0$ và $m \ne 1$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (1) tại giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1
  12. Đề: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 – mx + 2$. Tìm $m$ để hàm số có cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng $y = x – 1$
  13. Đề: Cho hàm số:  $y = \frac{{2{x^3}}}{3} + (cos a – 3sin a){x^2} – 8(cos2a + 1)x + 1$  với $a$ là tham số.a) Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.b) Giả sử hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ ${x_1},{x_2}$. Chứng minh rằng $x_1^2 + x_2^2 \le 18$ với mọi $a$
  14. Đề: Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{2}(\sin a + \cos a){x^2} + \frac{3\sin 2a}{4}x$. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$
  15. Đề: Cho hàm số $y = {x^3} + (1 – 2m){x^2} + (2 – m)x + m + 2 (C)$. Tìm $m$ để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn $\left| {{x_1} – {x_2}} \right| > \frac{1}{3}$ , với ${x_1};{x_2}$ là hoành độ các điểm cực trị.

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Bài tập tự luận về hàm số




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.