Đề bài: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C):y = x^3 -3x^2 + 2 $ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng: $ 5y – 3x + 4 = 0 $ .
Lời giải
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: $ 5y – 3x + 4 = 0 $ có phương trình dạng:
$ {\rm{(d):y }} = – \frac{5}{3}{\rm{ x }} + {\rm{a}} $
Điều kiện để (d) và (C) tiếp xúc nhau là: hệ $ \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} – 3{x^2} + 2 = – \frac{5}{3}{\rm{x}} + {\rm{a}}\\
{\rm{3}}{x^2} – 6x = – \frac{5}{3}
\end{array} \right. $ có nghiệm
Từ $ {\rm{3}}{x^2} – 6x = – \frac{5}{3} \Rightarrow 9{x^2} – 18x + 5 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{3} \to a = \frac{{29}}{{27}}\\
x = \frac{1}{3} \to a = \frac{{61}}{{27}}
\end{array} \right. $
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là $ ({d_1}):y = – \frac{5}{3}{\rm{x}} + \frac{{29}}{{27}} $ và $ ({d_2}):y = – \frac{5}{3}{\rm{x}} + \frac{{61}}{{27}} $.
Trả lời