Đề: Cho hàm số:$y =  – {x^3} + 3{x^2} – 2\,\,\,(C)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ($C$) của hàm số.$2$.Tìm các điểm thuộc đồ thị ($C$) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị $(C)$

Đề bài: Cho hàm số:$y =  – {x^3} + 3{x^2} – 2\,\,\,(C)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ($C$) của hàm số.$2$.Tìm các điểm thuộc đồ thị ($C$) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị $(C)$

Lời giải

$1.$ Bạn đọc tự giải
$2.$ Xét $A(x_0,y_0=-x_0^3+3x_0^2-2)\in (C)$ Đường thẳng đi qua $A$ với hệ số góc $k$ có phương trình :
$y=k(x-x_0)-x_0^3+3x_0^2-2$. Đường thẳng này sẽ có mộ tiếp tuyến (qua $A$) của $(C)\Leftrightarrow 
$ hệ phương trình sau có nghiệm : $\begin{cases}-x^3+3x^2-1=k(x-x_0)-x_0^3+3x_0^2-2  (1) \\ -3x^2+6x=k  (2)\end{cases} $
Thế $(2)$ vào $(1)$ ta có :
$x=x_0,x=\frac{3-x_0}{2} $ Thế trở lại $(2)$ ta được $2$ giá trị của $k$ làm hệ $(1),(2)$ có nghiệm :
$k_1=-3x_0^2+6x_0,k_2=-3(\frac{-x_0+3}{2} )^2+6(\frac{-x_0+3}{2} )$
Như vậy, qua $A(x_0,y_0$ sẽ có đúng $1$ tiếp tuyến $\Leftrightarrow  k_1=k_2\Leftrightarrow  x_0=1$
Vậy trên $(C)$ chỉ có duy nhất điểm $A(1,0$,mà qua $A$ kẻ được một và chỉ mộ tiếp tuyến với $(C)$