Đề bài: Cho hàm số $y=\frac{2x}{x+1} $ có đồ thị $(C)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(C)$, biết tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt hai trục $Ox, Oy$ tại hai điểm $A, B$ và tam giác $OAB$ có diện tích bằng $\frac{1}{4} $
Lời giải
Vì $M\in (C)$ nên ta giả sử $M(x_0;\frac{2x_0}{x_0+1} )$
Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ là: $y=y'(x_0)(x-x_0)+\frac{2x_0}{x_0+1}\Leftrightarrow y=\frac{2}{(x_0+1)}x+\frac{2x^2_0}{(x_0+1)^2} $
Do tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt hai trục $Ox$ và $Oy$ tại $A, B$ nên suy ra: $A(-x^2_0;0), B\left (0;\frac{2x^2_0}{(x_0+1)^2} \right )$
Tam giác $OAB$ có diện tích bằng $\frac{1}{4} $ nên: $\left| {\frac{2x^2_0}{(x_0+1)^2} } \right|.\left| {-x^2_0} \right|=\frac{1}{2} $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x_0^2 + {x_0} + 1 = 0\\
2x_0^2 – {x_0} – 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = – \frac{1}{2}\\
{x_0} = 1
\end{array} \right.$
Suy ra có hai điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán: $\left ( -\frac{1}{2} ;-2 \right ), (1;1)$
Trả lời