Đề bài: Cho hàm số $y=4x^3-6x^2+1 (1)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(1)$, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm $M(-1;-9)$
Lời giải
Gọi $(d)$ là đường thẳng đi qua điểm $M(-1;-9)$, đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=kx+k-9$, đường thẳng $(d)$ trở thành tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(1)$ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
$\begin{cases}4x^3-6x^2+1=k(x+1)-9 (2) \\ 12x^2-12x=k (3)\end{cases} $
Thay $k$ từ $(3)$ vào $(2)$ ta được: $4x^3-6x^2+1=(12x^2-12x)(x+1)-9$ hay $(x+1)^2(4x-5)=0\Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x = \frac{5}{4}
\end{array} \right.$
– Với $x=-1$, phương trình tiếp tuyến là: $y=24x+15$
– Với $x=\frac{5}{4} $, ta có $k=\frac{15}{4} $ phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{15}{4}x-\frac{21}{4} $
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là $y=24x+15$ và $y=\frac{15}{4}x-\frac{21}{4} $
Trả lời