Đề bài: Cho hàm số $ y = x^3+ mx^2+1$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt $d: y = – x+ 1$ tại ba điểm phân biệt $A(0;1), B, C$ sao cho các tiếp tuyến của $(Cm)$ tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: $ {x^{\rm{3}}} + m{x^{\rm{2}}} + {\rm{ 1 }} = {\rm{ }}-x + {\rm{ 1}} \Leftrightarrow x\left( {{x^{\rm{2}}} + mx + {\rm{ 1}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 $ (*)
Đặt $g(x) = x^2 + mx + 1$.
Ta có d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta g = {m^2} – 4 > 0\\
g\left( 0 \right) = 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m \end{array} \right. $ .
Vì $x_B , x_C$ là nghiệm của g(x) = 0 $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = {x_B} + {x_C} = – m\\
P = {x_B}{x_C} = 1
\end{array} \right. $ .
Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: $ f’\left( {{x_C}} \right)f’\left( {{x_B}} \right) = – 1 $
$ \Leftrightarrow {x_B}{x_C}\left( {3{x_B} + 2m} \right)\left( {3{x_C} + 2m} \right) = – 1 $
$ \Leftrightarrow {x_B}{x_C}\left[ {9{x_B}{x_C} + 6m\left( {{x_B} + {x_C}} \right) + 4{m^2}} \right] = – 1 $
$ \Leftrightarrow 1\left[ {9 + 6m\left( { – m} \right) + 4{m^2}} \right] = – 1 $
$ \Leftrightarrow 2{m^2} = 10 $ $ \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 5 $ (nhận so với điều kiện)
Trả lời