Đề: Cho hàm số $y =  – (m^2 + 5m)x^3 + 6mx^2 + 6x – 6$. Gọi $C_m$ là đồ thị của nó. Tìm tất cả các điểm cố định trong mặt phẳng tọa độ mà $C_m$ luôn đi qua với mọi giá trị $m$. Tiếp tuyến của $C_m$ tại mỗi điểm đó có cố định hay không khi $m$ thay đổi, tại sao?

Đề bài: Cho hàm số $y =  – (m^2 + 5m)x^3 + 6mx^2 + 6x – 6$. Gọi $C_m$ là đồ thị của nó. Tìm tất cả các điểm cố định trong mặt phẳng tọa độ mà $C_m$ luôn đi qua với mọi giá trị $m$. Tiếp tuyến của $C_m$ tại mỗi điểm đó có cố định hay không khi $m$ thay đổi, tại sao?

Lời giải

$ y=-({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x – 6 $
$\Leftrightarrow {x^3}{m^2} + (5{x^3} – 6{x^2})m + y – 6x + 6 = 0$.
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn m.
Các điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m sẽ có tọa độ thỏa mãn phương trình trên có nghiệm với mọi m, tức là các hệ số của m bằng 0.
Giải ra ta có nghiệm duy nhất  $ x = 0;y = – 6 $  nên  $ \forall m $ , đồ thị luôn đi qua điểm cố định A(0; -6).
Vì   $ y'(0) = 6 $   $ \forall m $  nên tiếp tuyến của   $ ({C_m}) $  tại điểm cố định A (0; – 6) cố định khi m thay đổi.