Đề bài: Cho hàm số : $y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x – 1}}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.$2$. Tìm trên đồ thị các điểm $A$ để tiếp tuyến của đồ thị tại $A$ vuông góc với đường thẳng đi qua $A$ và qua tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải
$1.$ Dành cho bạn đọc.
$2.$ Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y=\infty \Rightarrow $ đồ thị có tiệm cận đứng $x+1$;
$y=x+2+\frac{4}{x-1}\Rightarrow $ đồ thị có tiệm cận xiên $y=x+2.$
Giao điểm của hai tiệm cận là $B(1;3)\Rightarrow $ tâm đối xứng của đồ thị là $B(1;3)$.
Giả sử $A(x_0,\frac{x_0^2+x_0+2}{x_0-1})$ là điểm trên đồ thị.
Ta có $y^/=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$;
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là $y^/(x_0)=\frac{x_0^2-2x_0-3}{(x_0-1)^2}=a_1$;
Hệ số góc của đường thẳng $AB$ là $a_2=\frac{x_0^2-2x_0+5}{(x_0-1)^2}$
Tiếp tuyến với đồ thị tại $A \bot AB\Rightarrow a_1.a_2=-1,$ hay
$\frac{x_0^2-2x_0-3}{(x_0-1)^2}.\frac{x_0^2-2x_0+5}{(x_0-1)^2}=-1$
$[(x_0-1)^2-4][(x_0-1)^2+4]=-(x_0-1)^4$
$=(x_0-1)^4=8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x_0=1+\sqrt[4]{8}, y_0=3+2\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}\\x_0=1-\sqrt[4]{8}, y_0=3-2\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\end{array} \right.$
Trả lời