Đề:  Cho hàm số   $y = \frac{{{x^2} + 2{m^2}x + {m^2}}}{{x + 1}}$1)    Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực trị?2)    Xác định $m$ để đồ thị của hàm số có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.3)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với $m = 2$

Đề bài:  Cho hàm số   $y = \frac{{{x^2} + 2{m^2}x + {m^2}}}{{x + 1}}$1)    Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực trị?2)    Xác định $m$ để đồ thị của hàm số có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.3)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với $m = 2$

Lời giải

$1)$    Ta có $y = x + 2{m^2} – 1 + \frac{{1 – {m^2}}}{{x + 1}}$, do đó
$y’ = 1 – \frac{{1 – {m^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} – \left( {1 – {m^2}} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
Từ đó suy ra để hàm số có cực trị thì:  $1 – {m^2} > 0 \Leftrightarrow 1 > {m^2} \Leftrightarrow  – 1
$2)$    Giả sử trên đồ thì có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tạo độ.
Hai điểm đó: $A\left( {{x_0},{y_0}} \right),B\left( { – {x_0}, – {y_0}} \right)$ với ${x_0} \ne 0,{x_0} \ne – 1$.
Khi đó ta có ${y_0} = \frac{{x_0^2 + 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{{x_0} + 1}}, – {y_0} = \frac{{x_0^2 – 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{ – {x_0} + 1}}$.
Ta cần có:  $ – \left( { – {y_0}} \right) = {y_0} = \frac{{x_0^2 + 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{{x_0} + 1}} =  – \frac{{x_0^2 – 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{1 – {x_0}}}$
$ \Leftrightarrow \left( {2{m^2} – 1} \right)x_0^2 = {m^2}$
Do ${x_0} \ne 0,{x_0} \ne  – 1$
$\begin{array}{l}
 \Rightarrow 2{m^2} – 1 > 0,2{m^2} – 1 \ne {m^2}\\
 \Rightarrow \left| m \right| > \frac{{\sqrt 2 }}{2},m \ne \pm 1.
\end{array}$

$3)$    Dành cho bạn đọc