Đề: Cho hàm số:  $y = \frac{x – 2}{x + 1}$.1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2)    $M$ là một điểm có hoành đố $a \ne  – 1$, và thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$.3)    Tính khoảng cách từ điểm $I(-1; 1)$ đến tiếp tuyến đó. Xác định $a$ để khoảng cách ấy là lớn nhất

Đề bài: Cho hàm số:  $y = \frac{x – 2}{x + 1}$.1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2)    $M$ là một điểm có hoành đố $a \ne  – 1$, và thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$.3)    Tính khoảng cách từ điểm $I(-1; 1)$ đến tiếp tuyến đó. Xác định $a$ để khoảng cách ấy là lớn nhất

Lời giải

$1)$    Dành cho bạn đọc.

$2)$    Điểm $M$ thuộc đồ thị , có hoành độ ${x_M} = a$, vậy có tung độ ${y_M} = \frac{{a – 2}}{{a + 1}}$, và tại $M$ tiếp tuyến có hệ số góc  $y{‘_M} = \frac{3}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}$
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M:
$\begin{array}{l}
y = \frac{3}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\left( {x – a} \right) + \frac{{a – 2}}{{a + 1}}\\
 = \frac{{3x}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} – \frac{{3a}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{a – 2}}{{a + 1}} = \frac{{3x}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {a – 2} \right)\left( {a + 1} \right) – 3a}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\
 \Leftrightarrow y = \frac{{3x}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{a^2} – 4a – 2}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}
\end{array}$

$3)$    Áp dụng công thức tính khoảng cách d từ một điểm tới một đường thẳng, cụ thể từ điểm $I(-1; 1)$ đến đường thẳng  $\frac{{3x}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} – y + \frac{{{a^2} – 4a – 2}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = 0$,
Ta được: $d = \frac{T}{{M’}}$
Với    
$\begin{array}{l}
T = \left| {\frac{{3x}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} – 1 + \frac{{{a^2} – 4a – 2}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \right| = \frac{{6\left| {a + 1} \right|}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}},\\
M = \sqrt {1 + \frac{9}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}}}  = \sqrt {\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^4} + 9}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}}
\end{array}$
Vậy             $d = \frac{{6\left| {a + 1} \right|}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4} + 9}}$
Ta cũng có: $d = \frac{{36{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4} + 9}}$
Theo bất đẳng thức Côsi
        ${\left( {a + 1} \right)^4} + 9 \ge 2\sqrt {9.{{\left( {a + 1} \right)}^4}}  = 6{\left( {a + 1} \right)^2},$
Nên        $d = \frac{{36{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4} + 9}} \le \frac{{36{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{6{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = 6$
Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi
        ${\left( {a + 1} \right)^4} = 9 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3$
  $ \Leftrightarrow {a^2} + 2a – 2 = 0 \Leftrightarrow a = – 1 \pm \sqrt 3 $
Tóm lại khoảng cách $d$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\sqrt 6 $ khi $a = – 1 \pm \sqrt 3 $